Matematika Informatika Struktur Aljabar

Kelompok 1 :
• Alfiansya Hidayatullah P. (50417474)
• Aufar Kenandi Ghazian S. (51417048)
• Bagus Ardhito Harsono (57417410)
• Iqbal Isa Maysandi (52417950)
• Issac Bramukty (53417007)
• Hanissa Anggraini P. (52417657)
• M. Zulfikar Alimudin (53417427)
• Muhammad Luthfi F. (54417115)
• Sashmita Anggeli (55417532)
• Tosan Aji Bagaskoro (55417990)
Kelas : 2IA03
Matkul : Matematika Informatika
Materi    : Struktur Aljabar



1. Tunjukkan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan
Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :

H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H Í G.
Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat
suatu Grup :

a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 0, 2, 4 Î H
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
2 + 2 = 4
2 + 4 = 0
4 + 4 = 2
karena hasilnya 0, 2, 4 Î H,
maka tertutup terhadap H

b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 Î H
(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2
a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2
maka H assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)
Ambil sebarang nilai dari G
· misalkan 0 Î G
0 + e = e + 0 = 0
· misalkan 2 Î G
2 + e = e + 2 = 2
· misalkan 4 Î G
4 + e = e + 4 = 4
maka G ada unsur satuan atau identitas

d. Adanya unsur balikan atau invers
- Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 Î G, pilih 0 Î G,
sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
· Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 Î G, pilih 4 Î G,
sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4
· Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 Î G, pilih 2 Î G,
sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2
maka G ada unsur balikan atau invers

e. Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 4 Î H
4 + e = 4 + 0 = 4
e + 4 = 0 + 4 = 4
Sehingga :
4 + e = e + 4 = 4
maka H ada unsur satuan atau identitas
f. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 Î H
4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e
(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e
Sehingga :
4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e
maka H ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +)
merupakan Subgrup dari (G, +).

2. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:

a * b = a + b + ab
Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.
Penyelesaian:

Tertutup
Ambil sembarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka :
a * b = a + b + ab * N.
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

Assosiatif
Ambil sebarang a, b, c * N, maka :
(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc
a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc
Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku
(a * b) * c = a * (b * c).

Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.
Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S, *) disebut juga semigrup abel.


3. Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian:
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut
+ -1 1
-1 -2 0
1 0 2
Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Jadi, (G, +) bukan suatu grup.

4. Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan
bulat positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x ¹ y dan x * x = x untuk
setiap x,y  ꞓ  Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan
assosiatif.

Penyelesaian :
a. Tertutup
Misalkan x = 2 dan y = 3,
x * y = 2 * 3 = 1
x * x = 2 * 2 = 2
x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y ꞓ  Z+
b. Komutatif
x, y ꞓ Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1
y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1
x * y = y * x komutatif
c. Assosiatif
x, y, z ꞓ Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4
(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3
x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1
(x * y) * z ¹ x * (y * z) tidak assosiatif

5. M = { bilangan bulat}
M = b + a – 2a
Apakah (M,*) adalah semi grup?
Jawab:
Ø  Semi grup
    M = { bilangan bulat}
          M = { …, -2, -1, 0, 1, 2,…}
-          Tertutup
Misal a = 7; b = 3
M = a * b = b + a - 2a
                 = 3 + 7 - 2(7)
           = 10 - 14
           = -4
-          Asosiatif
      (a*b)*c = a*(b*c)
(b+a-2a)*c = a*(c+b-2b)
             r*c = a*s
        c+r-2r = s+a-2a
c +(b+a-2a)- 2(b + a-2a) = (c+b-2b)+ a-2a
           c+b+a-2b+2a- 4a = c+b-2b+a-2a
                                c-b-a= c-b-a

Kesimpulan : (M,*) merupakan semi grup karena memiliki kiteria tertutup & asosiatif

6. Operasi * pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c pada S 
    maka akan berlaku…
Penjelasan :
    Rumus dasar Asosiatif      : (a*b)*c = a*(b*c)
  Rumus dasar Komutatif    : a*b = b*a

7. Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi ada ... macam.
   a. 1
   b. 2
   c. 3
   d. 4
   e. 5
   Penjelasan:
   ada 4 macam sistem aljabar pada struktur aljabar yaitu: Semigrup, Monoid,
   Grupoid, dan Grup.


8. D = { 0 , 1}
Apakah D termasuk Grup dalam operasi penjumlahan?
Jawab :
·         Tertutup
a * b = a + b
         = 0 + 1
        = 1 ( Tertutup)

·         Asosiatif
( a + b ) + c = a + (b + c)
(0 + 1) + 1 = 0 + (1 + 1)
        2          =        2     (Asosiatif)

·         Identitas
a * e = a
1 + e = 1
       e = 1

·         Invers
a + a-1= e
1 + a-1= 0
      a-1= -1 (tidak sesuai)

kesimpulan : karena hanya memenuhi syarat Tertutup, Asosiatif, dan Identitas saja, maka G termasuk Monoid.


9. A = {1,2,3,4}
 Apakah A termasuk dalam semigrup dalam operasi penjumlahan (A,+) ?
Jawab :
• Tertutup :
Misal a=1 dan b=2
a*b =  a+b
        =  1+2 = 3     (tertutup)

• Asosiatif :
(a*b)*c =a*(b*c)
(1+2)+3 = 1+(2+3)
             6 = 6          (asosiatif)

·Karena Himpunan A bersifat Tertutup dan Asosiatif maka termasuk dalam Semigrup.


10. Buktikan bahwa operasi * termasuk dalam monoid dengan a*b = ½ (a+b) untuk himpunan bilangan asli.
Jawab:
Tertutup
Misal  : a = 1       b = 2
              a*b = ½ (a+b)
                     = ½(1+2)
                     =½ (3)
                     = 3/2

karna 3/2 bukan termasuk bilangan asli dan tidak tertutup , maka operasi * tidak termasuk dalam monoid.